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Sous-évaluation des prix d'options par le modèle de Black & Scholes.

Mise en évidence par une dynamique combinant mouvement brownien et processus à sauts.

S'il est bien connu que le modèle de F. Black et de M. Scholes est certainement l'un des modèles d'évaluation les plus répandus en finance, les hypothèses qui étayent ce modèle sont souvent oubliées. Taux d'intérêt sans risque constant quelle que soit l'échéance, absence d'opportunité d'arbitrage, titres parfaitement divisibles, transactions continues sans impôts ni coûts de transaction (marchés parfaits), cours de l'actif sous-jacent suivant un mouvement brownien géométrique, ne détachant aucun dividende, options devant être européennes, rendement normal et volatilité constante, telles sont ces hypothèses. L'hypothèse de normalité du rendement de l'actif sous-jacent, combinée à une volatilité constante implique toutefois une sous évaluation des options en dehors de la monnaie.

La modélisation log-normale de l'actif sous-jacent est également un biais puisque les événements à chocs ne sont pas pris en compte. Si on tient compte de ces événements rares, on peut alors montrer que le prix des options incluant ces chocs ont un prix supérieur aux prix des options évaluées par le modèle de Black & Scholes. Les actifs contingents sont donc sous évalués par le modèle de Black & Scholes.

C'est une simulation du type Monte-Carlo dans laquelle, les dates de sauts sont aléatoires, le nombre de sauts varie et l'amplitude du saut suit une loi de Bernouilli qui nous permet de mettre en évidence ce constat.

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