Risque de marché: la Value at Risk

Définition

Il y a deux dimensions au risque: une dimension quantitative (la perte potentielle) et une dimension probabiliste (la probabilité qu'un événement défavorable survienne). Il existe des indicateurs de risque permettant de donner une mesure de l'une ou l'autre dimension.

La Value at Risk (VaR ou V@R) quant à elle est un indicateur composite: elle indique la perte potentielle maximale qu'un portefeuille pourra subir à un horizon de temps donné, avec une probabilité donnée.

Par exemple si la value at risk d'un portefeuille à un horizon de 10 jours est de 5000€ avec un intervalle de confiance de 95%, cela signifie que sur les 10 prochains jours, il y a 95% de chances que le portefeuille ne perde jamais plus de 5000 € de sa valeur - ou encore, qu'il y a seulement une probabilité de 5% pour qu'il perde plus de 5000€.

Supposons que l'on construise une distribution de probabilité des gains ou pertes potentielles du portefeuille sur la période considérée, ici 10 jours. On porte en abscisse le résultat attendu et en ordonnée la probabilité d'occurrence de ce résultat. On obtient une courbe, appelée « densité de probabilité » qui aura plus ou moins cette forme:

VaR definition

La Value at Risk peut se lire directement sur cette courbe à partir de l'ordonnée 5%: ici, on lit une perte potentielle de 5000 €. Les 95 % de cas restant, à droite de la borne ainsi déterminée, représentent tous les cas favorables où le portefeuille générera soit une plus-value soit une perte limitée à 5000€.

Il y a donc trois éléments constitutifs de la Value at Risk:

  • Un horizon temporel fixe
  • Un intervalle de confiance
  • Un montant maximal de perte

A partir de là, on voit que tout le problème de l'estimation de la Value at Risk réside dans la construction de cette distribution de probabilité. Il existe pour cela trois grandes méthodes:

  • La méthode paramétrique
  • La méthode historique
  • La méthode des simulations de Monte Carlo

La VaR paramétrique

Cette méthode consiste à calculer la courbe de distribution des résultats du portefeuille en utilisant une formule décrivant cette courbe.

Pour cela, il faut identifier les facteurs de risque ayant une influence sur la valeur du portefeuille : prix, cours, taux, etc.
La fonction de distribution de chacun de ces facteurs de risque est exprimée par sa variance, qui est un indicateur de la volatilité du paramètre de marché considéré (par exemple le prix d’une action). La variance est en effet un indicateur statistique qui donne une mesure de la dispersion d'une variable.

De plus, les actifs au sein du portefeuille en question sont plus ou moins corrélés entre eux, c'est-à-dire qu'ils ont plus ou moins tendance à fluctuer simultanément, dans le même sens ou en sens inverse. Pour en tenir compte, on va utiliser également les covariances, qui sont des indicateurs statistiques donnant une mesure de la corrélation de deux variables.

Des fournisseurs de données communiquent des matrices de variance-covariance pour un grand nombre d'actifs du marché.

Cette méthode permet de calculer la VaR rapidement et de manière relativement aisée.

Cependant, pour un portefeuille contenant un grand nombre d'actifs, le nombre de covariances devant être estimées devient rapidement considérable. De plus la variance et la covariance sont des indicateurs assez frustres. Ces indicateurs reposent en effet sur les hypothèses que l’évolution de tous les paramètres de marché suit une loi normale(*) et que tous les instruments ont des profils de risque linéaires, ce qui n’est pas le cas des instruments optionnels.

(*) La loi normale, ou loi de Gauss, est la fonction de distribution la plus couramment utilisée en statistique, caractérisée par sa courbe en « cloche » symétrique.

La VaR historique

Un autre moyen de reconstituer la courbe de distribution des résultats du portefeuille est d'utiliser des données historiques pour chacun des actifs. Ce faisant, on fait abstraction du problème consistant à se procurer ou calculer l'ensemble des variances et covariances nécessaires. Il suffit de récupérer des historiques des prix des actifs composant le portefeuille, et de les appliquer aux positions actuelles pour reconstituer une distribution des résultats possibles du portefeuille.

Pour que le résultat soit fiable, il faut que la période d’échantillonnage soit suffisamment longue (pour avoir un nombre significatif de valeurs possibles), mais pas trop toutefois pour que la loi de distribution des probabilités n’ait pas sensiblement évolué sur la période. 

Un gros défaut de cette méthode est bien évidemment qu'elle repose sur l'hypothèse que le passé constitue un moyen de prédire le futur, ce qui n'est pas forcément le cas. On peut dire que la VaR historique renseigne surtout sur la VaR passée ! On peut tenter de pallier cet inconvénient en attribuant des pondérations différentes aux données historiques en fonction de leur ancienneté.

A noter que dans la méthode précédente, la VaR paramétrique, les variances et covariances sont aussi calculées à partir de séries historiques.

La VaR Monte Carlo

C'est  la méthode la plus sophistiquée, permettant de prendre en compte les instruments optionnels, mais elle nécessite des temps de calcul importants. Elle consiste à faire tourner un grand nombre de simulations en utilisant différentes hypothèses pour chacune des variables de marché ayant un impact sur la valorisation du portefeuille. La fiabilité du résultat dépendra grandement de la fiabilité des lois de distributions statistiques utilisées. Pour cela, on s'efforce de ne pas utiliser que des données historiques mais aussi d'injecter une dose de prospective dans les scénarios, en particulier en ce qui concerne les valeurs extrêmes.

Avantages et inconvénients de la VaR

La VaR présente plusieurs avantages qui expliquent son succès. Tout d’abord c’est un indicateur synthétique qui donne une évaluation du risque d’un portefeuille quels que soient les actifs qui le composent. Le fait de disposer d’un indicateur synthétique unique permet également les comparaisons entre portefeuilles.

Ensuite c’est un indicateur lisible et facile à interpréter, même par des non spécialistes, bien que la méthode de calcul soit très complexe. Cela en fait un vecteur de communication, aussi bien interne qu’externe, permettant de dialoguer avec le management ou les autorités de régulation.

La principale limite de la VaR réside dans le fait que quelle que soit la méthode utilisée, les données injectées dans l’algorithme de calcul proviennent toujours plus ou moins des valeurs de marché constatées dans le passé, qui ne sont pas nécessairement un reflet des évolutions futures possibles du portefeuille. C’est pourquoi on utilisera aussi des méthodes de stress-testing, qui consistent à simuler sur le portefeuille des scénarios « catastrophe » imaginaires ou issus d’épisodes de crise connus.

Une autre limite réside dans le grand nombre d’hypothèses plus ou moins simplificatrices que l’on doit faire pour parvenir à construire la distribution de probabilité. C’est pourquoi on vérifie a posteriori la méthode en comparant les VaR calculées par le passé avec les fluctuations effectivement constatées sur le portefeuille. Cette méthode, appelée backtesting, permet d’affiner le modèle de calcul de la VaR.

Ailleurs sur le Web

 Value at Risk: Theory and practice - Glyn Holton